Tổng hợp kiến thức ôn thi ĐH môn Toán bài Khảo sát hàm số: Đạo hàm - Đơn điệu - Cực trị - Lồi lõm

Tổng hợp kiến thức ôn thi ĐH môn Toán

Chương 1: Khảo sát hàm số

II. Đạo hàm - Đơn điệu - Cực trị - Lồi lõm

Tổng hợp tất cả những kiến thức lý thuyết bạn cần nhớ về đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị của hàm số và lồi lõm của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho y = f(x) xác định trong một khoảng chứa .

Cho số gia thì số gia hàm số:

Nếu tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm tại



- Định lý: Nếu f có đạo hàm tại thì liên tục tại điểm đó.


2. Công thức đạo hàm:





























3. Qui tắc đạo hàm:











4. Đạo hàm cấp cao:





Tổng quát:

Phương pháp:

Lập công thức qui nạp hoặc biến đổi về tổng, hiệu các hàm cơ bản và dùng công thức:







5. Vi phân:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm

Vi phân tại :

Vi phân tại x: dy=y'.dx

Ứng dụng để tính gần đúng:

6. Qui tắc Loopitan:

Từ định nghĩa đạo hàm: thì ngược lại ra chuyển lim về đạo hàm tại :

Áp dụng:







7. Hàm hằng:

Nếu y = C thì y'=0 trên D

Nếu y'=0 thì y=C trên D

Định lý Lagrăng (mở rộng):

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại số :

8. Tính đơn điệu:

Nếu thì f tăng trên (a,b)

Nếu thì f giảm trên (a,b)

Chú ý:
Nếu tại một số hữu hạn điểm thì có thể mở rộng thành hoặc

Nếu xét trên nửa khoảng, đoạn thì có thêm điều kiện liên tục.

Phương pháp xét tính đơn điệu:

- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm
- Xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên
- Kết luận

9. Cực trị

Có hai dấu hiệu

- Cho y=f(x) có đạo hàm tại :

f đạt cực tiểu tại <=> và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương.

f đạt cực đại tại <=> và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm.

- Cho y=f(x) có đạo hàm cấp hai tại :

Nếu và thì f đạt cực tiểu tại

Nếu và thì f đạt cực đại tại

Chú ý:

1. Điểm cực trị tại là điểm tới hạn (không có đạo hàm hoặc có đạo hàm bằng 0)

2. Tung độ cực trị y=f(x) tại x= có 3 hướng tính:

- Hàm số bất kỳ: phép thế

- Hàm đa tahwsC: chia đạo hàm y=q(x).y'+r(x) =>

- Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu

thì

Đặc biệt:

Với hầm bậc 3 có CĐ, CT và nếu y=q(x).y'+r(X) thì phương trình đường thằng qua CĐ, CT là y=r(x).

3. Bài toán đơn điệu, cực trị không được đặt ẩn phụ.

10. Lồi lõm (mở rộng):

Cho y=f(x) có đạo hàm cấp 2:

- Nếu f''(x)>0, thì đồ thị lõm trên (a,b)

- Nếu f''(x)<0 data-blogger-escaped-img="" data-blogger-escaped-src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall&space;x\epsilon&space;(a,b)" title="\forall x\epsilon (a,b)"> thì đồ thị lồi trên (a,b)

- Điểm uốn là điểm mà qua đó thì đạo hàm cấp hai đổi dấu, tức là điểm ngăn cách phần lồi và phần lõm.

- Kết quả:

Nếu f lồi trên đoạn [a,b] thì GTLN=max{f(a);f(b)]

Nếu f lõm trên đoạn [a,b] thì GTNN=min{f(a);f(b)]

Chú ý:

Nếu y=p(x).y''+r(x) thì tung độ điểm uốn tại là